Связная компонента

Множество узлов, обнаруживаемых алгоритмом BFS, в точности соответствует множеству узлов, достижимых из начального узла s. Это множество R называется компонентой связности G, содержащей s; зная компоненту связности, содержащую s, для ответа на вопрос о связности s–t достаточно проверить, принадлежит ли t компоненте связности.

Если задуматься, становится ясно, что BFS — всего лишь один из возможных способов построения этой компоненты. На более общем уровне компоненту R можно построить «проверкой» G в любом порядке, начиная c s.

Сперва определяется R = {s}. Затем в любой момент времени, если удается найти ребро (u, v), для которого u Ѯ R и v ѯ R, узел v добавляется в R. В самом деле, если существует путь P из s в u, то существует путь из s в v, который состоит из P с последующим переходом по ребру (u, v). На рис. 3.4 изображен этот базовый шаг расширения компоненты R.

Предположим, множество R продолжает расти до того момента, пока не останется ни одного ребра, ведущего из R; иначе говоря, выполняется следующий алгоритм.

R состоит из узлов, к которым существует путь из s

Перед началом выполнения R = {s}

Пока  существует  ребро  (u,  v),  для  которого  u  Ѯ  R  и  v  ѯ  R

Добавить v в R

Конец Пока

Ниже сформулировано ключевое свойство этого алгоритма.

(3.5) Множество R, построенное в конце выполнения этого алгоритма, в точности совпадает с компонентой связности G, содержащей s.

Доказательство. Ранее уже было показано, что для любого узла v Ѯ R существует путь из s в v.

Теперь рассмотрим узел w Ѯ R; действуя от обратного, предположим, что в G существует путь s–w, который будет обозначаться P. Так как s Ѯ R, но w ѯ R, в пути P должен существовать первый узел v, который не принадлежит R, и этот узел v отличен от s.

Следовательно, должен существовать узел u, непосредственно предшествующий v в P, такой что (u, v) является ребром. Более того, поскольку v является первым узлом P, не принадлежащим R, должно выполняться условие u Ѯ R. Отсюда следует, что (u, v) — ребро, для которого u Ѯ R и v ѯ R; однако это противоречит правилу остановки алгоритма.

Заметьте, что для любого узла t в компоненте R можно легко восстановить фактический путь от s к t по описанному выше принципу: для каждого узла v просто фиксируется ребро (u, v), которое рассматривалось на итерации, в которой узел v был добавлен в R. Перемещаясь по этим ребрам в обратном направлении от t, мы обрабатываем серию узлов, добавлявшихся на все более и более ранних итерациях, постепенно достигая s; таким образом определяется путь s–t.

В завершение следует отметить, что общий алгоритм расширения R недостаточно точно определен: как решить, какое ребро должно рассматриваться следующим? Среди прочего, алгоритм BFS предоставляет способ упорядочения посещаемых узлов — по последовательным уровням, на основании их расстояния от s.

Однако существуют и другие естественные способы расширения компоненты, часть из которых ведет к эффективным алгоритмам решения задачи связности с применением поисковых схем, основанных на других структурах. Сейчас мы займемся другим алгоритмом такого рода — поиском в глубину — и изучим некоторые из его базовых свойств.