Формулы Келли

Начиная с конца 1940-х гг. инженеры компании Bell System работали над проб- лемой передачи данных по международным линиям. Проблема, стоящая перед ними, заключалась в том, что линии были подвержены неизбежному случайному «шуму», который мешал передаче данных.

Инженерами компании было предложено несколько довольно оригинальных решений. Как это ни странно, наблюдается явное сходство между проблемой передачи данных и проблемой геометрического роста, которая относится к управлению деньгами в азартных играх (так как обе проблемы являются продуктом случайной среды). Так появилась первая формула Келли.

Первое уравнение выглядит следующим образом:

f = 2 * P – 1,                                             (1.9, а) или f = P – Q,                                               (1.9, б)

где f — оптимальная фиксированная доля; Р — вероятность выигрышной ставки или сделки; Q — вероятность проигрыша (1 – Р). Обе формы уравнения (1.9) эквивалентны.

Уравнения (1.9, а) или (1.9, б) для оптимального f дадут правильный ответ при условии, что выигрыши и проигрыши будут одинаковы по величине. В качестве примера рассмотрим следующий поток ставок:

–1, +1, +1, –1,+1, +1, +1, +1, –1.

Есть 10 ставок, 6 из них выигрышные, отсюда: f = (0,6 * 2) – 1 = 1,2 – 1 = 0,2.

Если выигрыши и проигрыши не были бы одинакового размера, то эта фор- мула не дала бы правильного ответа. Примером служит бросок монеты в игре 2:1, где все выигрыши — 2 единицы, а проигрыши — 1 единица. В этом случае фор- мула Келли будет выглядеть следующим образом:

f = ((B + 1) * P – 1) / B,  (1.10, а) где f — оптимальная фиксированная доля;

Р — вероятность выигрышной ставки или сделки; B — отношение выигранной суммы по выигрышной ставке к проигранной сумме по проигрышной ставке.

В нашем примере с броском монеты в игре 2 : 1:

f = ((2 + 1) * 0,5 – 1) / 2 = (3 * 0,5 – 1) / 2 = 0,5 / 2 = 0,25.

Эта формула даст правильный ответ для оптимального f при условии, что все выигрыши между собой всегда одинаковы и все проигрыши между собой всегда одинаковы. Если это не так, формула не даст правильного ответа.

Формулы Келли применимы только к результатам, которые имеют распределение Бернулли (распределение с двумя возможными исходами). Торговля, к сожалению, не так проста. Применение формул Келли к иному распределению будет ошибкой и не даст нам оптимального f. Более подробно о распределении Бернулли рас- сказано в приложении B.

Рассмотрим следующую последовательность ставок/сделок:

+9, +18, +7, +1, +10, –5, –3, –17, –7.

Так как это не распределение Бернулли (выигрыши и проигрыши различны), формула Келли не применима. Однако давайте все равно ее используем и посмотрим, что получится.

Так как 5 из 9 событий прибыльны, то Р = 0,555. Теперь давайте возьмем средние выигрыши и проигрыши и рассчитаем B (именно здесь многие трейдеры ошибаются). Средний выигрыш 9, а средний проигрыш 8, поэтому B = 1,125. Подставляя значения, получим:

f = ((1,125 + 1) * 0,555 – 1) / 1,125 = (2,125 * 0,555 – 1) / 1,125 = (1,179375 – 1) / 1,125 = 0,179375 / 1,125 = 0,159444444.

Таким образом, f = 0,16. Мы увидим ниже, что это не оптимальное f. Оптимальное f для этой последовательности сделок составляет 0,24. Используя формулу, когда выигрыши не имеют одинакового размера и/или проигрыши не имеют одинакового размера, мы делаем ошибку, и формула не дает оптимального f.